下記は全くの常識である可能性もあるのですが、検索してもなかなかヒットしなかった（？と思う）ので一応書いてみます。
ThunderbirdでIMAPのアカウントでメールの日本語の本文を検索しようとすると、TBのウィンドウの下の部分（ステイタスバーっていうの？）に、
「***（←メールサーバ名）」に接続しました
フォルダを開いています
メールサーバがサポートする機能を…
ログイン情報を…
というメッセージが点滅しまくってそのままになってしまってました。（点滅が早くてよく読めない）
ですが、件名の日本語検索とか本文の半角英数字だとすんなり検索が出来てました。
本文の日本語検索だけ上記の様になって不可だったのです。
この謎がようやく解けました…。
上記のメールサーバはPOPでも繋げるサーバだったので（←この言い回しが技術的にあっているか不明）、TB上に同じメアドのPOP用のアカウントを作ります。こちらだと日本語でも検索が出来ます。
という感じで超埋もれてしまったメールはこっちのPOPアカウントの方で、がんばって検索していたのですが。
ですが、こちらのPOPのアカウントはIMAPの利点であるフォルダ分けとかが全く出来ておらず、全ファイル検索です。フォルダ分けして無いので…。かといってこっちのTB上のPOPアカウントだけのためにIMAPと同じフォルダ構造を作ったりフィルタを設定したりなんかとてつもない手間でやる気も起きず…。
と、思っていたのですが、そんなことをしないでも解決！

POPはこっちに全てのメッセージがDLしてあるのですが、IMAPでも確か全てのフォルダをオフラインで使用できるようにDLされる設定にしていたはずです。
IMAPでオフラインにしてみて日本語の本文を検索してみたら普通にできますがな！
あー、これに気づくまで辿り着くまで長かったなー。
これが出来ないためにBeckyに戻ろうかなぁとか思ったこともあったしなぁー。
（メニューの「ファイル」から「オフライン」を選択。または、ウィンドウ左下の電球のマークをクリックするとメッセージのDLをしてからオフラインになる。あと各フォルダのプロパティ設定でオフラインでも使用する、にチェックを入れてないと駄目かも。）
Thunderbirdのメールを検索するためにGoogleデスクトップを試したり。
でもインデクスがリアルタイムじゃなかったりするので新しいメールが見つからなかったり…。
Windowsデスクトップサーチも試してました。こちらは絞込み検索が便利で良いのですが、もちろん？Thunderbirdのメールなんか検索してくれず。
Thunderbirdのメールの領域をインデクスの指定してもだめ。Thunderbird用のプラグインがあったらしい。深くググると見つかったのですが、何故か使用出来ず。
てな感じで昔のメールの検索が便利になりました。
でもこれ何か大きな誤解か間違っている気もするなー。